Wer kennt das nicht, man sitzt im Café und der Tisch … kippelt. Der Tisch hat nämlich vier Beine und eines davon hängt irgendwie in der Luft. Was tun wir? Wir legen einen Bierdeckel oder eine Serviette darunter. Aber was, wenn ich euch sage, jeder vierbeinige Tisch kann auf jedem Untergrund gerade stehen, ohne zu kippeln. Glaubt ihr nicht? Ich kann‘s beweisen!
Machen wir zunächst mal ein paar Grundannahmen:
- Die Tischbeine sind alle gleich lang. Wäre ein Bein nur halb so lang wie die drei anderen, dann haben wir in der Tat ein Problem. Aber in der Regel sind die Tischbeine gleich lang, Wir unterstellen also, es liegt am Boden.
- Ein dreibeiniger Tisch steht immer ohne zu kippeln – nicht zwingend gerade, aber er kippelt nicht!
- Wir sind in der Lage und haben die räumliche Gegebenheit, die Stellung des Tisches zu verändern.
- Die Beine des Tisches bilden über die Eckpunkte ein Quadrat.
Sind diese Voraussetzungen erfüllt, bekommt ihr den Tisch zu einem stabilen Stand. Wie? Dreht ihn einfach. Das war‘s. In weniger als 90° Drehung um die Mitte des Tischbeinquadrats muss es einen Punkt x geben, an dem der Tisch stabil steht. Fertig!
Wie? Das reicht euch nicht? Eine Erklärung?
OK, schauen wir uns die Situation an. Der Tisch hat vier gleichlange Beine (1), drei dieser Beine kann ich stets gleichzeitig am Boden haben (2). Das Kippeln kommt also, weil das vierte Bein einen Abstand zum Boden hat. Nennen wir diesen Abstand einfach mal h1 und den Startzeitpunkt der Drehung a.
Ich drehe nun den Tisch um seine zentrale Achse, sodass die Beine eine Kreisbahn beschreiben. Dabei achte ich darauf, dass die drei stehenden Beine immer am Boden bleiben (wieder Grundannahme 2., das ist stets möglich). Spätestens nach einer Vierteldrehung, also nach 90°, steht das Tischbeinquadrat wieder so, wie es zuvor stand. Die Beine wurden getauscht, aber unsere drei Beine haben immer noch Bodenkontakt. Damit das überhaupt möglich ist, müsste das vierte Bein jetzt aber einen Abstand zum Boden von h2 = -h1 haben, also quasi so tief im Boden versunken sein, wie es vorher herausstand. Diesen theoretischen Endzeitpunkt der Drehung nennen wir mal b. Wir haben also zwei Funktionen f(a) = h1 und f(b)= h2.
Moment, wie soll ich den Tisch denn „in den Boden“ drehen, da ist gepflastert, das geht nicht. Genau! Wahrscheinlich wird das tatsächlich nicht gelingen. Aber schauen wir uns mal die Funktion der Drehung genauer an.
Ein wichtiges Theorem der Mathematik, der s.g. Zwischenwertsatz sagt:
Eine reelle Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, (also keine Lücken hat – was durch die stetige Drehung gegeben ist) nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Haben insbesondere f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle s (wie stabiler Stand) von f im abgeschlossenen Intervall [a,b].
Oder anders ausgedrückt: Sei s genau die Höhe, bei der der Abstand des vierten Beins zum Boden gleich 0 ist und f eine auf [a,b] definierte stetige Funktion mit f(a) < s < f(b), dann gibt es mindestens einen Punkt x mit f(x)=s. Es können natürlich auch mehrere sein, keine Ahnung was der Wirt da für einen Acker hat.
Mathe sagt also, es gibt diesen Punkt und ihr müsst den Tisch weniger als 90° drehen, um ihn zu finden.
Dieselbe Regel gilt im Übrigen auf für nicht quadratische Tischbeinstellungen, die aber rechteckige oder parallelogrammförmige (gibt’s da ein anderes Wort für?) Konfigurationen haben. Hier befindet sich Punkt x irgendwo auf einer 180° Drehung. Für alle anderen Tischbeinkonfigurationen wird Gleichstellung eventuell erst nach 360° erreicht. Eine volle Drehung sagt aber, dass alles wie zuvor ist, d.h. a = b. Hier kann ein Punkt x mit f(x) = s existieren, muss aber nicht zwingend.
Die Drehung muss dort zumindest so gewählt werden, dass Bein 4 auf einem der Standpunkte von Bein 1-3 zu stehen kommt, während eines der Beine 1-3 auf dem Punkt von 4 enden. Ist das nicht gegeben, wird’s zufällig. Nehmt dann halt den Bierdeckel und sagt dem Wirt, solche Tische sind eher für die Kunstgalerie als ein Café geeignet.
Viel Glück und viel Spaß.